Решаем уравнение x^3 + x^2 + x = -1/3

News Add comments

Oct 212009

Первым делом домножим данное уравнение на 3:
$x^3+x^2+x+\frac{1}{3} = 0 \mid \cdot 3$
$3x^3+3x^2+3x+1 = 0 \qquad (1)$
Выделим из него куб суммы:
$2x^3+(x+1)^3=0$
И перенесем его в правую часть:
$2x^3=-(x+1)^3$
Извлечем кубический корень:
$\sqrt[3]{2x^3}=\sqrt[3]{-(x+1)^3} \qquad (2)$

Решим уравнение (2):
$x\sqrt[3]{2}+x=-1$
$x(\sqrt[3]{2}+1)=-1$
$x=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}$
$x\approx-0,44249$

При разложении на множители уравнения (1), в одном из множителей получим квадратное уравнение, в котором:
$a = 3$
$b = -\frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}+3$
$c = \frac{3}{(\sqrt[3]{2}+1)^2}-\frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}+3$
$D = b^2-4ac$
$D = (-\frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}+3)^2 - 4*3*(\frac{3}{(\sqrt[3]{2}+1)^2}-\frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}+3)$
$=> D < 0$
Значит, что данное квадратное уравнение имеет два комплексных корня:
$x_{1} = -\frac{1}{3} + \frac{1-i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2}} - \frac{1+i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2^2}}$
$x_{2} = -\frac{1}{3} - \frac{1-i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1+i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2}}$

Следовательно, уравнение (1) имеет один действительный и два комплексных корня:

$x_{1} =-\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}$
$x_{2} = -\frac{1}{3} + \frac{1-i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2}} - \frac{1+i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2^2}}$
$x_{3} = -\frac{1}{3} - \frac{1-i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1+i\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{2}}$

Leave a Reply Cancel reply